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[主观题]

如果有限群G有且仅有3个不同的子群,则G必为循环群,且G的阶数为p*p,p为某个素数.

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第1题
设< G,*>是一个群,且a∈G,如果对于每一个x∈G,有a*x=r*a,则由这样的元素a可以构成一个集合S。试证明< S,*>是群< G,*>的子群。

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第2题
设< G,*>是一个群,H是C的非空子集、如果对任意元素a,b∈H,有a*b=1∈H,则< H,*>是一个子群。

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第3题
①< G,*>是个群.H,K是其子群,在G上定义二元关系证明:R是G上的等价关系。 ②在①中,若|H|=m,|K|=n,

①< G,*>是个群.H,K是其子群,在G上定义二元关系证明:R是G上的等价关系。

②在①中,若|H|=m,|K|=n,|G|=mn,m与n互素,且R的某个等价类在G的乘法运算下构成G的一个子群,则R=G×G。

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第4题
设G是有限群,则以下结论正确的是()。

A.G的子群防整除咱阶

B.G的任何子群郎是正叔子群

C.G是交换群

D.G的任何子都是循环群

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第5题
设G是有限群,K是G的子群, H是K的子群,证明[G:H]=[G:K][K:H]

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第6题
设为群,H为G的非空子集:证明:的子群当且仅当对任意元素a,bH有a*b-1H.

为群,H为G的非空子集:证明:的子群当且仅当对任意元素a,bH有a*b-1H.

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第7题
假定H是群G的一个非空子集并且H的每一个元的阶都有限,证明,H作成一个子群的充要条件是:

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第8题
一个群G的可以写成a-1b-1ab形式的元叫作换位子。证明;(i)所有有限个换位子的乘积作

一个群G的可以写成a-1b-1ab形式的元叫作换位子。证明;

(i)所有有限个换位子的乘积作成的集合C是G的一个不变子样;

(ii)G/C是交换群;

(iii)若N是G的一个不变子群,并且G/N是交换群,那么

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第9题
设f和g都是< G1,★>到< G2,*>的群同态,且试证< H1,★>是< G1,★>的子群。

设f和g都是< G1,★>到< G2,*>的群同态,且试证< H1,★>是< G1,★>的子群。

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第10题
设(G, *)为有限独异点,且具有(),则(G, *)为一个群。

A.吸收律

B.分配律

C.消去律

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